Day 5

zhanglei 2022年07月26日 392次浏览

Day 5

剑指offer 14-1.剪绳子

题目描述

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思路一:动态规划

这题用动态规划是比较好理解的

我们想要求长度为n的绳子剪掉后的最大乘积,可以从前面比n小的绳子转移而来
用一个dp数组记录从0到n长度的绳子剪掉后的最大乘积,也就是dp[i]表示长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积,初始化dp[2] = 1
我们先把绳子剪掉第一段(长度为j),如果只剪掉长度为1,对最后的乘积无任何增益,所以从长度为2开始剪
剪了第一段后,剩下(i - j)长度可以剪也可以不剪。如果不剪的话长度乘积即为j * (i - j);如果剪的话长度乘积即为j * dp[i - j]。取两者最大值max(j * (i - j), j * dp[i - j])
第一段长度j可以取的区间为[2,i),对所有j不同的情况取最大值,因此最终dp[i]的转移方程为
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
最后返回dp[n]即可
代码

  1. class Solution {
  2. public int cuttingRope(int n) {
  3. int[] dp = new int[n + 1];
  4. dp[2] = 1;
  5. for(int i = 3; i < n + 1; i++){
  6. for(int j = 2; j < i; j++){
  7. dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
  8. }
  9. }
  10. return dp[n];
  11. }
  12. }

复杂度分析

时间复杂度:O(n ^ 2)
空间复杂度:O(n)

思路二:贪心

核心思路是:尽可能把绳子分成长度为3的小段,这样乘积最大

证明可参考这个题解

步骤如下:

如果 n == 2,返回1,如果 n == 3,返回2,两个可以合并成n小于4的时候返回n - 1
如果 n == 4,返回4
如果 n > 4,分成尽可能多的长度为3的小段,每次循环长度n减去3,乘积res乘以3;最后返回时乘以小于等于4的最后一小段
以上 n>4和n==4 可以合并
代码

  1. class Solution {
  2. public int cuttingRope(int n) {
  3. if(n < 4){
  4. return n - 1;
  5. }
  6. int res = 1;
  7. while(n > 4){
  8. res *= 3;
  9. n -= 3;
  10. }
  11. return res * n;
  12. }
  13. }

复杂度分析

时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)

剑指offer 14-2.剪绳子

题目描述

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贪心解法

  1. class Solution {
  2. public int cuttingRope(int n) {
  3. if(n < 4){
  4. return n - 1;
  5. }
  6. //定义为长整型
  7. long res = 1;
  8. //循环取余
  9. while(n > 4){
  10. res *= 3;
  11. res = res % 1000000007;
  12. n -= 3;
  13. }
  14. //强转成整型
  15. return (int)(res * n % 1000000007);
  16. }
  17. }

补:剪绳子之贪心算法的证明

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补:动态规划步骤:

1. dp数组以及下标的含义
2. 构造递推公式
3. dp数组的初始化
4. 遍历顺序
5. 打印dp数组