Day 5
剑指offer 14-1.剪绳子
题目描述
思路一:动态规划
这题用动态规划是比较好理解的
我们想要求长度为n的绳子剪掉后的最大乘积,可以从前面比n小的绳子转移而来
用一个dp数组记录从0到n长度的绳子剪掉后的最大乘积,也就是dp[i]表示长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积,初始化dp[2] = 1
我们先把绳子剪掉第一段(长度为j),如果只剪掉长度为1,对最后的乘积无任何增益,所以从长度为2开始剪
剪了第一段后,剩下(i - j)
长度可以剪也可以不剪。如果不剪的话长度乘积即为j * (i - j)
;如果剪的话长度乘积即为j * dp[i - j]
。取两者最大值max(j * (i - j), j * dp[i - j])
第一段长度j可以取的区间为[2,i),对所有j不同的情况取最大值,因此最终dp[i]的转移方程为
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
最后返回dp[n]即可
代码
- class Solution {
- public int cuttingRope(int n) {
- int[] dp = new int[n + 1];
- dp[2] = 1;
- for(int i = 3; i < n + 1; i++){
- for(int j = 2; j < i; j++){
- dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
- }
- }
- return dp[n];
- }
- }
复杂度分析
时间复杂度:O(n ^ 2)
空间复杂度:O(n)
思路二:贪心
核心思路是:尽可能把绳子分成长度为3的小段,这样乘积最大
证明可参考这个题解
步骤如下:
如果 n == 2,返回1,如果 n == 3,返回2,两个可以合并成n小于4的时候返回n - 1
如果 n == 4,返回4
如果 n > 4,分成尽可能多的长度为3的小段,每次循环长度n减去3,乘积res乘以3;最后返回时乘以小于等于4的最后一小段
以上 n>4和n==4 可以合并
代码
- class Solution {
- public int cuttingRope(int n) {
- if(n < 4){
- return n - 1;
- }
- int res = 1;
- while(n > 4){
- res *= 3;
- n -= 3;
- }
- return res * n;
- }
- }
复杂度分析
时间复杂度:O(n)
空间复杂度:O(1)
剑指offer 14-2.剪绳子
题目描述
贪心解法
- class Solution {
- public int cuttingRope(int n) {
- if(n < 4){
- return n - 1;
- }
- //定义为长整型
- long res = 1;
- //循环取余
- while(n > 4){
- res *= 3;
- res = res % 1000000007;
- n -= 3;
- }
- //强转成整型
- return (int)(res * n % 1000000007);
- }
- }
补:剪绳子之贪心算法的证明
补:动态规划步骤:
1. dp数组以及下标的含义
2. 构造递推公式
3. dp数组的初始化
4. 遍历顺序
5. 打印dp数组